第二个问题，借助于其次线性方程组的解，我们来讨论非其次线性方程组解的结构。

好了，前面我们已经说了，对于一个非其次先行方程组 a x 等于b，我们系数矩阵不变，如果取把 b 换为 0 向量的话，称这样一个方程组为 a x 等于 b 的导出组，导出组。不难想到这两个方程组的解之间可能会有某些非常密切的关系，那么要讨论 a x 等于 b 的解，这个其次线方程组 a x 等于 0 来说，它的解我们已经知道了，已经很清楚了，所以我要考虑非其次线性方程组的解。我首先来讨论一下这两个线性方程组它的解之间到底有什么样的关系，来看，这两个解之间的关系，我们设C1、 C2 均为非起次线性方程组 a x 等于 b 的解，向量，则可是 1 与 QC2 的差，那么不难看出 X1 等于 b x， C2 等于b，那么 X1 减 X2 必然就等于 0 了，也就是说可是一减可 C2 为其导出组 a x 等于 0 的解。

下面再来看， sit wait 非其次线性方程组 a x 等于 b 的解。一塔酶导出组 a x 等于 0 的解，那么很容易验证 c 加上 ITA 为非其次方程组 a x 等于 b 的一个键，也就是说非其次线性方程组两个解的差为其导出组的解，非其次线性方程组的解和导出组的解的和，仍然为该非其次线性方程组的解好了。利用这种关系，那么我们借助于其导出组的解，可以给出非其自线方程组a， x 等于 b 的解，它的结构。好了，这是这一节的第二个定理了。是了， data 为非其次线性方程组a， x 等于 b 的一个解向量，C1，C2，c， n 减 r 围其导出组。

它的基础解析，则该非其次线性方程组a， x 等于b。

的通解。有如下的结构， x 就等于一塔加 C 1 克C1， C 2 克C2，一直加到 c n 减r，其中。C1，C2， c n 减 r 为任意常数。

下面我们来证明一下结果。好了，我要证明它的通解具有这样子的形式，那也就是说，任意给一个 AX 等于 b 的解，我来说明那个解可以表示成这样子的一个结构就可以了。好，任给非其次线性方程组 a x 等于 b 的解x，那么伊塔是这个 AX 等于 b 的一个解向量，已知的一个结项量。那么根据刚刚我们讲过的兴趣， 3X 减1，它两个非其次线性方程组解的差，必然是其导出组 AX 等于 0 的解向量。好了，又因为我们已知 a x 等于 0 的基础解析为 X1 到x， n 减r，所以， x 减一塔必然可由 x 克 C1 到c， n 减 r 线性表出，换句话说，必然存在一组系数 c e c n 减 r 使得 x 减1，塔可由 CC 1 到 CN 减r。线性表出。那么这个式子也就是什么呢？也就是 x 可以表示为一毯，加上 C1 加C2，再打 c n 减r，其中 c e 到 c n 减 r 是一组常数，那么也就是说我证明了任意的一个解都可以表示成这种形式，换句话说，我们就证明了它的通解具有这样子的结构。

好了，那下面我们来看一个例子，由这个结论，我们对给定的一个非其次线性方程组 AX 等于b，要求它的通解，其实要求两个方面，第一个方面我们要求出它的任意一个解，我们也把它叫做 a x 等于 b 的特解。然后我们还需要什么？需要导出组的基础解析，所以只要我们知道这两个方面，我们就可以写出非其次线性方程组的通解。所以我们来看这个具体的例子，求一个，非其次线性方程组的通解， X1 减X2，加上二倍的X3，加上 X1 1， X2 加X3，等于2，加上 3 倍的 x N，求这个非其次线性方程组的通解。

写到这里，好了，我们说对给定的非其自信方程组，要求它的通解，需要求出它的一个特解和其导出组的一个基础解析。那么事实上这两个方面我都可以在同一步可以做到。怎么来做？大家来看我写出，线性方程组的增广矩阵，那么它就等于1213， 1- 10- 121 this e list 221 三，医生，好了，写出它的增广矩阵，然后我们对增广矩阵用初等行变换给它化成行阶梯形，或者最好到行最简型，那么到最简型我们可以很容易的看出它的特解和导出组的基础解析。那么我们来看，那就我交换一三两行，然后再做这个行倍加的一些初等变换，我们来直接写出它的结果，我们可以得到如下的一个行最简型， 10 E E R。

好，这样我们得出了 AE8 的行最简型。

下面我们再写出该最简型所对应的那个方程组，也就是原方程组的一个同解方程组，所以可以得到一个，非其次线性方程组的同解方程组，从解放程组，并且以及它的导出组。那么同解方程组很容易写了， X1 就等于什么呢？ X1 就等于，或者我们直接这样子来写也是可以的。 X1 再加上- 1 倍的X3，再加 X4 等于2， X2 减 3 倍的 X3 等于1。好，这是 AX 等于 b 的同解方程组，那么它的导出组自然就是 X1 就等于 X3 减X4， X2 等于 3 倍的X3。

好了。我要取原方程组的一个特解，也就是要取这样一个它的同解方程组的一个特解。那么在取特解的时候当然也不唯一了，取法不唯一。一般的来说，我们就取自由未知量比较简单的一些值就行了。我取X3， X4 等于0，我就可以得到 AX 等于 b 的一个特解。直接来写，得到原方程组a， x 等于 b 的一个特解，我把它记为一塔，那么我令自由位质量 X3X 都取0，那当然 X1 等于2， X2 是100。

好了，然后我们还需要导出组的基础解析，那么在导出组，在它的导出组中，我令自由微质量X3， X4 依次取 10 和 01 及其导出组的。基础解析。NPS，我们 g 为 C1 和C2，那么 X1 我取 X3 为1， X4 为0， X3 为1， x 为0。所以它就是 13 10 C2，我们取X3， X4 为零一，那么 X1 就是-1300。好了，有了原方程组的一个特解，导出组的一组基础解析，我们就可以写出所求的通解为，所求的通解为x，等于 1 个特解，再加上。导出组的基础解析的线性组合，其中C1、 C2 为任意常数。

好了，那事实上我们在这里对增广矩阵化为阶梯形也是可以的。如果化为阶梯形，我们就取出它，写出它的铜解方程组以及同解方程组的导出组，然后取自由微质量，取特殊值代入，得到一个特解，并且得到导出组的基础解析，然后写出通解。那么写到最典型呢？自然有一定的好处，比如说我们如果这里是最典型的话，那么大家看原方程组的一个特解就非常容易了，为什么呢？因为我们不妨设这里这些列向量我取为阿尔法 1 一撇，阿尔法 2 一撇， 3 一撇，四一撇，贝塔一撇，那么原来的这个我列为阿尔法1，阿尔法2、阿尔法 3 阿尔法 4 贝塔。

那么这个方程组的一个解必然是贝塔用阿尔法 1234 表出时的一组系数，那我们说初等行变换，不改变列向量组之间的线性关系，所以贝塔一撇用他们怎么表出？那么贝塔就用阿尔法1，阿尔法2，阿尔法3，阿法 4 怎么表出？换句话说，我只需要看一看贝塔一撇如何用阿尔法一撇到阿尔法 4 一撇先行表出那一组系数，就是原方程组的一个特点，所以在这里容易看出，当这里是最简行时，首飞 0 元都为1，那么这个组合系数恰好是贝塔一撇就等于二倍的阿尔法一撇，再加上一倍的阿尔法二一撇。

所以一个解就是2100，那么这样子很容易可以得出圆方程组的一个特解。当然到一般的行阶梯形写出它的同解方程组，然后取特殊值得到一个特解也是可以的。那么这是一个具体的数值的例子。那么事实上，根据非其次线性方程组解的这种结构，以及它和其导出组的解之间的关系，我们有时候也可以更方便的得到非其自线性分成组的解。

好，我们再来看一个例子，是有一个矩阵 a 是 5 行 3 列的一个矩阵，它的质， 2 志为2，那么已知，以 a 为系数矩阵的，非其次线性方程组 AX 等于b，已知它的两个解向量， IT1 IT 2 满足，下列的两个关系， data 1 加上 data 2 就等于。 B30 二倍的IT，一。加上 3 倍的 IT 2 就等于251。

下面我们来求该方程组的通解，好了来看我们来看求解，那要求这个非其次线性方程组 a x 等于 b 的通解，我需要找到它的一个特解以及导出组的基础解析。怎么找出它的特解呢？我们来看，我知道解向量。一塔 1 和一塔 2 满足这样一个关系，那大家想想，如果，伊塔一是 AX 等于b，得几？伊塔 2 是 a x 等于 b 的解，那么大家看看一塔 1 加 1 塔 2 必然满足什么关系，它就等于a，一塔 1 加 a 一塔2，所以等于什么呀？ 2 倍的b，换句话说，换句话说，我如果给一塔 1 与一塔 2 的和，我给它除以2，那么这个向量必然是 a x 等于 b 的一个解，所以我们从第一个关系式我就可以得到 a s 等于 b 的一个特解，我给它除以 2 就可以了。那么由已知，有已知 1/ 2 它 1 加 1 它2，那么它是什么呢？它就是 1/ 23/ 20，该非其次线性方程组 AX 等于 b 的一个特解。

好了，现下面我们再来看导出组的基础解析。要找出导出组的基础解析，我们知道的是非其次线方程组的解，所以我们需要考虑非其次线方程组和导出组解的关系。刚刚已经说了这是一个解，那么同理，我们还说什么呢？我们还说如果，我用 5 来除二倍的 e 胎 1 加上三倍的 e 胎2，我们大家看 e 胎 1 是一个解，所以二倍的 e 胎 1 就是a，乘以二倍的 e 胎 1 就是2B， a 乘以 3 倍的一塔三，一塔二就是3B，所以这个加起来是5B，那么除以 5 就得到 a 乘以这个向量就等于b，换句话说它也是非其次线性方程组 a s 等于 b 的一个特点。

那么，由我们说非其次线性方程组的解和导出组的解的关系，我们就知道了，该非其次线性方程组的两个解，它的差，一定是起导出组的一个解，那么我们要找基础解析，我们先来看看我需要找出多少个无关的解，因为 a 它的质是几是2，所以其导出组。 a x 等于0。

基础解析应该含多少个解向量？我们用 a 的列数 3 减去质，那也就说含一个解向量，一个解向量，从而这里的这个向量我不妨令其为c，那么就构成了导出组的基础解析。好了，特解也有了，基础解析也有了所通解酶，那么特解你不管写他也行，你写他也行，那么就是 IT 1X 就等于， 1/ 2，它一加1，它2，再加上 c 倍的可c，那么 c 倍的。 1/ 2 它一加 1 它 2 减去 5 倍的二倍。一哒，一加三倍的一哒，我们具体的来算一下，它就应该等于 1/ 23/ 20，再加上 c 倍的一1/2。好，这是它的通解，其中， c 为任意常数。

好了，那么这一节借助于前面向量空间的积和维数的概念，我们讨论了线性方程组解的结构。首先对于其次线性方程组，我们讨论了它的解的结构是什么呢？如果系数矩阵 a 的质是r，那么它的基础解析必然含有 n 减 r 个解向量，并且它的通解就是解向量的线性组合。当然，然后由其次线性方程组的解，我们又讨论了非其次线性方程组的解，对一个非其次线性方程组，如果我们知道它的一个特解以及其导出组的基础解析，那么非其次线性方程组的解就具有这样子的形式了，这样子我们就比较完整的讨论了非其次线性方程组解的结构。好，这节课的内容就这么多，下课了。