上午好，前面我们介绍了 n 维向量空间的一个理论，那么在此基础上，我们借助于基于维数的概念来讨论 n 元线性方程组解的结构。
那么对于一个一般的 n 元线性方程组， AX 等于b，其中， a 就等于。我把 a 按列分块写成阿尔法1，阿尔法2，阿尔法n，X，X1，X2， b 就等于B1， B2 b n。好了，对于这样一个 n 元的线性方程组，那我们知道，那么这个方程组我们也可以用线性表出的形式写成。这样子的一个形式就是说向量 b 可由 a 的列向量组线性表出。
对于这个方程组解的研究，前面我们根据消元法已经得到了如下的一些结论，线性方程组 a x 等于 b 有解，冲尿条件是，它的增广矩阵的质等于技术矩阵的制，又可以用线性表出的这个语言来描述为向量 b 可由向量阿尔法 e 到阿尔法 n 进行表出。并且我们知道，如果这个质等于未质量的个数，那么表达式唯一。也就是说 AX 等于 b 有唯一解。如果质小于未质量的个数n，那么表达式 b 的由阿尔法到阿尔法 n 的表达式不唯一。也就是说 AX 等于 b 的解不唯一。
当向量 b 为 0 时，那我们知道对于其次线性方程组来说，它肯定是有解的，至少它有 0 解。所以对于一个其次方程组，我们更关心的是它有没有非 0 解，那么我们有下面的结论。这个其次，线性方程组有非零解，当且仅当系数矩阵的质小于其未知量的个数，那么我们也可以描述为 h 证的列向量组，线性相关。
好了，这是我们前面关于这个线性方程组解的判定，也就是说它有没有解的结果。那么这一节我们就来看如何求出它的解，也就是来讨论线性方程组的解的结构。首先我们来看简单的情况，其次，线性方程组， a x 等于 0 的解，我们来讨论，向量 b 等于 0 时候的情况。我们说了对于一个其次方程组来说，我们重点关注的是它有没有非 0 结，那么很容易看出如果一个其次方程组有非 0 结，它必然有无数个解，如何来表示出这无数个解？首先，我们需要研究一下其次方程组解的结构解的性质， SURE C1 和k， C2 均为其次方程组 a x 等于 0 的解，那么很容易可以看出 C1 和k， C2 的和向量，也是该其次先行方程组的解，也就是说，这是第一个性质。
第二个性质，那么设 c v。其次方程组的一个解，设 k 为任意的一个常数，则不难验证， a k 克 c 也等于0，换句话说， k 倍的克 c 也是 a x 等于 0 的解，那么我们把 a x 等于 0 的所有解向量放在一起构成的集合，我们称为v。
那么上面两个性质就告诉我们这个集合 v 中的向量对于向量的加法和数乘封闭，因此这个 v 就构成一个什么向量空间，我们就称这个向量空间为其次方程组 a x 等于 0 的解空间。
好了，那么既然这个集合构成一个空间，那我知道了，我要研究它的所有的解，我们只需要什么，只需要来重点讨论这个集合，或者说这里的这个空间的基向量，那么我们就称。
解空间。 a x 等于 0 的。解空间的任何一组机。为该其次线性方程组。 the 基础解析，就成为它的一个基础解析，那么下面我们将证明，如果矩阵 a 的质小于它所含向量的个数，那么该其次线性方程组一定存在基础解析，并且我们可以给出一种求基础解析的方法。我们不妨设这个 a 是一个 m 乘 n 的矩阵，它的质为r，小于所含列向量的个数。走了。其次，线性方程组 AX 等于0，必有基础解析，并且，每个基础解析，均含有， n 减 r 个解向量。
好了，那么我们根据基础解析的定义，事实上已经看出，对于一个含有非零向量的一个解空间来说，这样的一个解空间来说，我们说它的基是不唯一的，因此对于一个有非零解的这样一个其次线性方程组来说，它的基础解析也就不唯一了。但是我们知道一个空间的任何两组机是等价的，所以该其次线性方程组的两个基础解析也必然等价，因此它们所含向量的个数必然相同。那么下面我们就来证明这个个数恰好就等于 a 的列向量的个数减去系数矩阵 a 的质。
好了，下面我们给出一种构造性的证明，顺便证明过程中也给出求一个基础解析的一种方法。好了，那么有已知条件，我们知道了， a 的质等于r，它是小于 n 的。那么为了后面的叙述和讨论的方便，我们不妨设， a 的前 r 个列向量线性无关，那么对系数矩阵a，我们进行初等行变换，化为 a 的行最简型，我们这个最简型不妨记为u，那么这个 u 必然具有以下的一个形式。
好了，对 a 进行初等行变换，化为行最简型。那么我们来简单的分析一下，为什么它的最简型具有这样的形式呢？那大家考虑一下， a 的质是r，就说明 a 的列向量组，它的质是r，换句话说， a 的列向量组的极大无关组就含有 r 个向量，那么我们不妨设前 r 个线性无关，那化成一个行最简型。以后，根据行最简型的一个定义，我们知道了，那么它这个最简刑中必然含有 r 个线，这个非 0 的行，根据这个阶梯型行最简刑。首先是阶梯型了，阶梯型的定义要求，若有 0 行，必然位于非 0 行的下面，所以前 r 个行必然是非 0 行，这是第一点。第二点，既然我们假设前 r 个列 a 的前 r 个列线性无关，那初等行变换又不改变矩阵的列向量组的线性关系，因此 u 矩阵的前 r 的列必然也线性无关，因此前 r 个列必然是什么是非 0 列了。那好，那下面我们再来分析，为什么这个元素就是 1 呢？大家来想一想。那如果这个元素它是0，那么根据 g t 型的定义，它是 0 的话，它的下面必须全是0，因为每一行随着行数的增加，那么它非0，元素前面 0 的个数要增加。因此如果它是0，那么它们下面全是0，从而这就是一个 0 向量了。那与刚刚我们讲的前 r 个列为非 0 列就矛盾了，所以它是非 0 的。又因为它既然是最典型，它既然是非 0 的，那么它就必然是第一个非 0 行的，首非 0 元就是最简型，因此首非 0 元必然是一再来考虑为什么这个地方是1，那大家来考虑，如果这个元素为 0 的话，那么从第二列的从第二个元素以下也必然全是0。
就因为它要是一个非 0 列，因此这个元素就是非 0 的，那么第一和第二个列就成比例，它们就信息相关，这与前 r 个列信息无关，也就矛盾了，所以这个元素也是非 0 的。又因为它是第二行的首飞 0 元又是最简型的，所以它是一定是数1。依次类推，我们可以得出，这前 r 个非 0 行的首飞 0 元 1 刚好，第二个非 0 元刚好位于 a i 的位置，换句话说，最典型一定具有如上的一个形式。那么好了，我们知道了，初等行变换并不会改变以 a 为这个系数矩阵的其次方程组和以 u 为系数矩阵的其次方程组的解，换句话说，这两者是铜解的。所以我们现在来写出铜解方程组，写出 a x 等于 0 的同解方程组，那么以 u 为系数矩阵的，这个方程组为，它就应该是下面的一个形式了。
那么 X1 就等于负的 b e r 加1，x， r 加1，减去 B2E r 加2X， r 加2， b 的e， n x n。XR。就等于负的 B2R 加1X， r 加 1 减去 b r r 加2X， r 加2， D R N X N。 x r 就等于负的 b r r 加1， x r 加 1 减去 b r r 加 2 XR 加 2 B R N x n。好，我们得到以 u 为系数矩阵的一个其次方程组，那么我们知道它是与 a x 等于 0 是同解的。
好了，从这个方程组我们可以看出，如果我取， x r 加1， x r 加 2 到 x n 为自由位置量，并且令他们分别取，C1，取 x r 加 1 等于C1， x r 加 2 等于C2，一直到 x n 取到 c n 减r，则。我们可以得到这个方程组的通解。又因为它和 AX 等于 0 同解，也就是说我们得到 AX 等于 0 的一个通解为，那么我们来看 X1 就等于负的 B1R 加1， X2 加1，现在是C1，再减去B1， r 加2， x r 加2，那么此时它就等于 C2 负的 B1 n c n 减r， r r 加e， c e 2R 加 2C r。
R N C N G R。
r r 加e。c， e 二二加2，C2，C1，x， r 加 2 等于C2，x， n 等于 c n 减2。好，这是他的通解。其中C1， C2 打c， n 减 r 为任意的常数，也就是说我们给出来了 AX 等于 0 的通解。那好了，那下面我们令，C1，C2，c， n 减 r 分别取以下的向量，王玲她取10，000，取 01000 给 C1 到 c n 减 R1 组值，我们代入通解就得到 a x 等于 0 的一个解。给另外一组值，又得到另外一个解。所以我们现在依次取如下的一些值，001，好，那么我们就得到a， x 等于 0 的 n 减 r 的解，我不妨记为 X1 就等于，那去 c e， c n 减 r 为1000，那么带进去我们就会发现它就是负的 B1R 加 1 负的 B2R 加一直到负的b， r 加1100。那么我们取 C1 到 c n， g r 为 0100 的时候，我们就会得到一个解，我记为C2，那么它就等于负的 B1R 加2，负的 b r 加 2010 依次内推。
当我取 C1 到 c n 减 r 为它的时候，我们就得到 c n 减 r 就等于什么呢？那么就等于负的 B1N 负的 b r n 零1，我们得到了 a x 等于 0 的 n 减 r 个解，并且，我们可以用它们表示出通解，那么这个通解我就可以用 c e 到 c n 减 r 表示为，x，就等于什么呢？那么给它代入，那就可以得到它就等于 C1 的 C1 加上 C2 倍的C2，再加到 c n 减 r 倍的 c n 减r，其中这里的 C1 到 c n 减 r 和上面一样为任意的常数，这说明对于这个方程组 a x 等于0。
我们找到了它的 n 减 r 个解，使得它的任何解可由这 n 减 r 个解线性表出。并且我们会发现，因为这 n 减 r 个向量的下面的这 n 减 r 的分量零一是什么的？也就这里的这些向量是线性无关的。那根据我们前面的结论，一个向量组线性无关，给这向量组中的每一个向量加一些分量，所构成的加长向量组仍然无关。说明什么呢？说明我们得到的 C1 到 k c， n 减 r 是 a x 等于 0 的 n 减 r 个线性无关的解，并且它能表示出 a x 等于 0 的任何一个解。那这说明什么？这说明 CC 1 到 CN 减 r 就是 AX 等于 0 的解空间的一组积，换句话说，我们就得到 C1K C2 可是 n 减 r 为 AX 等于 0 的一个基础解析，刚刚我们已经说到了一个。
其次，线性方程组它的基础解析不唯一，但是等价相互等价，所以所含向量的个数必然相同。那这里我们的确找到了一个基础解析，含有 n 减 r 个，所以它所有的基础解析均含有 n 减 2 个解向量。那么到此基本上我们就用构造的方法给出来了 a x 等于 0 的基础解析，也就证明了我们的定理。
那么从这个定理的证明中，我们可以看到，有以下的几个方面需要大家注意，第一个，我们说这个定理告诉我们，任何一个基础解析所含解向量的个数都是 n 减r，那也就是说什么呢？也就是说这个解空间的为数一定就是 n 减r，其中 v 是a， x 等于 0 的解空间。
解空间。那么大家看看这里的 n 是什么？是线性方程组a， x 等于0，它的未知量的个数也是系数矩阵 a 的列数，而 r 是系数矩阵 a 的质，这是第一个需要大家注意的。第二个，第二个，那么在这个证明的过程中，我们取 C1 到c， n 减r，分别为一零零零，一零零到零001，得到了一组基础解析。那很多人说我如果不这么取可不可以？当然可以，事实上大家看这里的本质在于什么？本质在于只需要取它们是线性无关就可以，因为如果这里是线性无关的，那么它们的加长向量组一定线性无关。所以我们说这个基础解析这里他们的这些自由微质量这些值的选取不唯一，你可以任意取一组线性无关的即可。那当然我们要根据计算的这个情况取一组，便于计算的解好了，这是第二个我们要说明的。
第三个，我们来简单的小结一下，就是说这个定理的证明给出了求基础解析的一种方法，我们可以简单的写为以下的几个步骤，第一步，我们做了什么？第一步，我们写出系数矩阵，并且涌出等行变换，切记只能用行变换，因为行变换才保证它同解。好了，用行变换化，为什么化为最简型？那事实上从证明的过程中也可以看到，我画到阶梯形也是可以的，画成阶梯形以后，写出它的同解方程组，求出它的解也行，也可以的。
好了，这是第一步，我们化为最简刑。第二步干什么呢？第二步，我们写出这个行阶梯形或者行最简型所对应的同解方程，写出它所对应的同解方程组，并且求出，求出一组基础解析，这是第二步。那么第三步，如果让你解出一个 AX 等于 0 的话，要求解的话，那么第三步我们再写一下，基础解析，有了以后我们也可以写出它的通解，根据通解的表达式，我们可以写出它的通解。当然第2步和第三步实际上也可以在同一步完成，这是第二点，那么第三个我们是说，我们给出了求解的步骤。
好了，第三个我们说既然基础解析就是解空间的基，那么我们知道了，如果，这个系数矩阵的质为 r 的话，那么它的基础解析所含解向量的个数必然是 n 减r。换句话说，解空间的维数是 n 减r，那一个空间的维数我们已经知道了。如果一个维数是 n 减 r 的话，根据前面解空间的理论，那我们知道我在这个空间中任意找出 n 减 r 个向量，它所无关线性无关的向量，那么它所构成的向量组必然就构成该空间的一组。
换句话说什么呢？如果 a 的质是r，那么则 a x 等于 0 的任意， n 减 r 个线性无关的解，所构成的向量组必然是，该其次方程组的基础解析。因为它必然就构成了什么，构成了解空间的一组积，所以也就形成 AX 等于 0 的基础解析。那么下面根据以上的步骤，我们来看一个具体的数值例子。
求下面一个其次线性方程组。
的通解，求该其次线性方程组的通解，我们一起来解一下。第一步，我先写出系数矩阵a，这是 2- 47 和-6， E 负二三， 31 mm 3 负181。那么我们对系数矩阵进行初等行变换，给它画成阶梯形或者最简形的形式，这里我们就来直接写一下它的结果。我们用初等行交换，然后在用行倍加，我们可以得到，个行阶梯形矩阵。下面我们再写出它的同解方程组，也就是该行阶梯形矩阵为系数矩阵所对应的一个起次线性方程组。
这就是 X1 加上 X2 等于二倍的X3，减去三倍的X4，二倍的 XR 就等于 7 倍的X3，再加上 4 倍的减去 4 倍的X4。好了，那当然了，如果你把它化成行最简型的话，那么这个通气方程组的形式就会更加的简单。那现在呢？我们令自由未知量X3，X4，分别取10，和零一，可以得到 a x 等于 0 的， 2 个g，我们来看，C1，我们令 X3 X4 取 10 的时候代入就会得到一个解，那么 X3 等于1， X4 等于0，所以应该是什么呢？X2， X2 就等于 7/ 2， X2 取 7/ 2，然后 X4 是0，所以 X2 出来，那么这个地方 2- 7/ 2 就负的 3/ 2 E0，然后我再取 X3X 为零一，我们可以得到 C R。
01 X3 等于0， X4 等于1，那么 X2 就等于-2，然后 X1 就等于- 3- 1。容易看出 1001 是线性无关，所以可是1，可是 2 线性无关。又因为矩阵 a 的质是2，所以其次线性方程组 a x 等于 0 的基础解析，所含解向量的个数就是2，也就是说我们得到了 AX 等于 0 的一个基础解析。最后我们再写出所求的通解为，所求通解为x，等于 C1 倍的 C1 加 C2 倍的可C2，也就是说 C1 与 C2 的任意的线性组合C1， C2 为任意常数。
好了，这样子我们就得到了一个基础解析，并且表示出了原线性方程组的所有的解。那当然这里如果我不取10，我取 20 也是可以的，并且会使得上面的两个分量都去整数。所以我们前面也说过自由微质量这些值的选取是不唯一的，只要使得他们线性无关就可以了。好，这是一个具体的例子，那么有的时候我们也可以根据这个其次线性方程组解的结构，解的这种形式，借助于它的质等等一些关系，我们也可以得到其次先行方程组的解。比如说我们来看下面的一个例子，已知 n 阶矩阵，A，它的各行元素之和均为0，并且， a 的质为 n 减1，球。其次线性方程组 AX 等于 0 的解。
好了，说一个矩阵的各行元素之和均为0，那这个事实上我们在前面讲这个矩阵与向量乘法的时候有提到过，大家还有没有印象？我们说矩阵的各行元素之和，向量我可以表示为 a 与某一个特殊的向量的乘积，还记不记得其中 e 是所有分量均为 1 的这样一个向量？我们讲过，我说矩阵的各行元素之和，我们可以如此来表示，那么由条件也就相当于告诉我们 a e 等于0，那换句话说，向量 e 就是其次线性方程组 AX 等于 0 的一个解，又因为 a 的质等于 n 减1，所以我们知道。 a x 等于 0 的基础解析。
就只能含一个向量，只有一个向量。好了，这就告诉我们，这个非 0 的向量 e 就构成了 a x 等于 0 的一个基础解析。冲所求的通解， x 就等于 e 的倍数，其中 c 为任意常数。
了，这是第二个例子。那么在前面我们也讲到说一个其次线性方程组，它的基础解析所含解向量的个数与该系数矩阵的质之间有着非常密切的关系。那么事实上，根据这种关系，有的时候我们也可以借助于其次线性方程组的解，来得到某些关于矩阵制的一些关系式。我们来看第三个例子，设给定矩阵a，求证， a 满足 a t， a 的制，等于 a 的制。换句话说，任意一个 m 乘 n 矩阵，它都要满足这样一个关系式。我们来看一下证明。借助于其次线性方程组解的结构，我们可以很简单的得到这个结果。那么大家考虑以 a 为系数矩阵的其次线性方程组， a x 等于0，那大家想想，如果一个 x 满足 AX 等于 0 的话，则必然满足什么呀？我两边这是一个向量了，两边用 a t 矩阵去组成，我们就会得到 a t， a x 就等于 a t 乘以向量0，自然就是 0 向量了， 0 向量好。
反之，如果一个向量x，如果向量 x 满足 a t， a x 等于0，那么我们可以得到什么呢？我两边同时用 x t 去做成，我就会得到 x t a t a x 就等于0。根据矩阵，根据这个向量的内积，我们会发现它恰好是 AX 的，转至乘以AX，也就是 AX 的什么样内积与它自身的内积，或者说它的膜的平方。而一个向量的模等于0，说明什么？说明该向量等于0。那也就是说，如果 x 满足 a t， a x 等于0，则必然有 a x 等于0。换句话说，我们就证明了这里是一个充钥条件了。
a x 等于 0 当前锦当 a t a x 于是什么意思？也就可以理解为其次线性方程组 a x 等于 0 与其次线性方程组 a t a，以这个系数矩阵，以它为系数矩阵的其次线方程组怎样同解？既然同解，那么解空间的维数必然完全相同了。那么我们来看一下对其次先方程组 as 等于 0 来说，它的解空间的维数是多少？ a 的列数减去系数矩阵 a 的质，那么就等于这里的系数矩阵 a t a 的列数。我们来看一下 a t a，它的列数是多少？ a 是一个 m 乘 n 的矩阵，那么 at 自然就是 n 乘 m 矩阵，可见 ATA 是一个 n 接方阵，所以它的列数减去系数矩阵的质。好了，这两个数相等，也就是 a 的质等于 ATA 的值。这是第三个例子，我们根据其次线性方程组解的结构，我们可以得到一些关于矩阵制的某些简单的关系式。下面我们休息一下。在借助于其次线性方程组解的结构，我们来讨论非其次线性方程组的解。好了，休息几分钟。