好，我们现在上课，今天我们讲第五章相似矩阵，这一部分的机械是方阵的特征值和特征向量。好，我们先考虑这样一个问题，假设 a 是一个 n 阶方阵，如果我们要求 a 平方，大家估算一下，这就要计算 n 平方个稀的元素对不对？一个 n 键柱，这里边有 n 平方个元素，而每计算一个新元素，又需要做 n 次乘方， n 减 1 次加法，大家算一下这个运算量有多大？那如果是要计算 a 的 3 次方、 a 的 10 次方、 a 的 k 次方等等，那个运算量就会非常之大。

好，那有没有比较好的办法？好，如果说能把 a 分解成 a 等于p，乘上 d 在 p 的逆，那么 d 点是对焦矩阵，那么大家看一下，如果要计算 a 的 3 次方，就会有这样一个等式。看一下这三个相乘，由于这一 p 的尼，这一p，这个 p 的尼，这一个p，最后就是 p g 的地方皮对你，而 d 是一个对焦矩阵，比如说就是这么一个样子，那么 d 的 3 次方不就是这样吗？是不是非常好算，好，运算量，这样就可以大大的假化。当然同学我们也可以估算一下，如果要计算 a 的 3 次方， a 的 4 次方大概需要多大的运算量，那么我就要问了，在什么条件下可以把矩阵分解成那样一种形式，又怎么样来做这样的分解？我们先通过倒推分析一下，存在一个可逆聚的p，它的列向量就是 p P2， p n 是在 a 能够分解成这种形式，它的重要条件是什么？也就是a， p 等于 p d 由它长成这个样子。

进一步我们看一下，可以转化成这样一个等式，对不对？我们把它分量写出来，这个拉姆达1，拉姆达 2 到拉姆达 n 就是 d 的什么呢？对焦元好，那么就等价于这样一个等式， a p i 等于拉姆达i， p i 从 1 到n，因为 p 可逆，那么它的每一个电向量肯定不为0，对不对？肯定不为0，有 a 可逆，于是我们把上边这个问题就可归结为求拉姆达 i 和非零香梁 p i，使得这个等式成立，是不是刚才我们经过一番推导，归结成这样一个问题，而这个问题不光对我们计算 a 的开始方会带来方便，而实际上线性代数当中，甚至在现代科学技术当中有很多的问题都会归结成为矩阵的计算。那如果说我们能把矩阵一个矩阵转化为对焦矩阵，那这样的运算量就会大大的减少。

另外在插飞方程、维飞方程、最优恐质集合学和物理学当中也大量的遇到这样一个问题，就是说是不是存在一个向量x，当然是非 0 向量了，满足这样一个方程，其中 a 是一个方阵，拉姆达是一个数，就是这种形式，这在很多领域里边都提出类似的问题。因此我们可以抽象出下边一个一般化的概念。

好，大家看这个定义。假设 a 是一个 n 键方阵，如果存在数拉姆达和 n 为非 0 列向量x，使得 AX 等于拉姆达x，那么我们就称拉姆达斯 a 的一个特征值，而 X4A 的属于特征值拉姆达的特征向量。那么从几何上来说， a x 等于拉姆达 x 表示什么呢？它表示矩阵 a 把特征向量 x 变成与它共线的一个向量，拉姆达x。拉姆达大于 0 的时候方向不变，拉姆达小于 0 的时候方向相反。拉姆达如果等于0，相当于说 x BA 变成了 0 向量。

我们想问这样一个问题，特征值和特征向量是不是一一对应的？什么意思？一个特征者是不是只有一个特征向量？一个特征销量是不是只属于一个特征值？是不是这样？大家看一下，假设 X4A 的既属于拉姆达的特征向量，又属于拉姆达 1P 的特征向量 x 是这两个特征值对应的特征向量，那就有 a x 对于拉姆达克斯，还有好 x 对于拉姆达EPX，这样一来我们就推出了拉姆达x，对于拉姆达 EPX 又会推出什么呢？好，大家注意，我们刚才说到特征向量有一个什么限定好非0，那由这个等于 0 推出什么呢？拉姆达对于拉姆达一天随便说。

问题，一个特征向量自属于一个特征值。好，那现在再反过来看，如果 x a 的属于特征值拉不达的特征向量，也就是 a x 等于拉姆达x，那么对任意的一个数 k 不等于0，那 k x 是不是也不等于0？而且还有 a k x 就等于 k e x，这个可以。

好，然后 a x 不是抖音 Lambda x 吗？把它换成拉姆达x，最后得到拉姆达 k x，看两头说有没有什么问题？ k x 也是 a 的属于特征之拉姆达的特征向量，这说明了个什么问题？ N 说明一个特征值，它的特征向量可以有无穷之多，是不是？我们可以变吗？好，我们看一个例子，假设 a 是一个 m 乘 n 矩阵， b 是一个 n 乘 m 矩阵，我们先再要证明 a b 和 b a 有相同的非 0 特征值，大家注意一下这个 a b 和 b a 是同间矩阵吗？是不是？好，我们证明一下。

假设拉姆达斯 a b 的任何一个非零特征植入 x 属于这个特征值的特征向量，那么自然就有这样一个关系式，这词根据定义好给两边分别做成一个矩阵b，对吧？看看会变成什么样子，把他俩组合起来好，组合起来就是上边这个样子。又因为 a b x 等于看 a b 组合起来x， x 是 a b 矩阵因对应于拉姆达的特征向量，所以它就等于它。

我们所特征向量是非 0 向量，拉姆达又是非 0 特征值，那拉姆达 X0 是不等于0？我想先问一下，由上边这基行能不能说明 b x？ 4 b a 的特征向量？可以可以，就这个有这个式子，能不能说明 b x 就是 b a 的特征向量？可以不，可以不可以说明？好，这里一定要注意，因为 BX 等于不等于 0 还没有判定，所以我们要做下边的说明了，因为 a b x 等于 Lambda x 不等于0，那当然 b x 也就不等于 0 了。

好，这样来我们才可以断定 b x 四 BA 的对应与特征之拉姆达的特征商量。所以说拉姆达也是 BA 的特征值好，那么同例可证 b a 的任何一个非零特征值也是 a b 的特征值，因此这个结论就则证了 a b 和 b a 有相同的非零特征值。那么单纯从定义来看，特征值和特征相量这个定义并不复杂，或者说还比较简单。但是这可是线性代数当中一个非常重要的概念，它其中蕴含着很丰富的信息，而且又广泛的应用，已经延伸到现代数学的很多领域里边。所以特征值和特征销量确实是用来刻画矩阵的一个重要的特征。

我们刚才 AX 等于拉姆达x，也就是 5- 110，是不是可以这样来变形？可以不可以？那么这 5 减 2 是一个什么样的式子？是一个其次线性方程总是这样吗？好， n 个变量， n 个方程的，其次线性方程走，那么它有非零点的充分必要条件是什么呢？细数行列式就是他窦玉玲，是吧？如果说我们拎 f 那么大，等于刚才那个系数行列式，具体的写就是这么一个行列式，对吧？我们把这样一个行列式，或者是这个 f 拉姆达乘坐方阵 a 的特征多项式，它是关于拉姆达的一个 1 元 n 次多项式，我们把 f 拉姆达等于 0 称为 a 的特征方程。

这样一来，那特征值是不是就是特征方程的什么呢？给对不对？那么在复述范围内就有 n 个根，当然从根按从数来计算，所以说 n 减方针就有 n 个负特征值。好，我们利用特征多项式可以给出我们刚才那个利益的另外一组正方，看看容易压正这样一个矩阵等式，这个下去以后，大家可以验证利用这种方法也可以给出一个别的证法来，通过上边去汉莱士得到这样一个证实。那么这个等式表明什么呢？ a b 和 b a 级那些菲林特征值的重数都是相同的。好，下面我们进一步来看几个关系。拉姆达凌是方针 a 的一个特征值科， c 是属于拉姆达凌的特征向量，这样一件事情可以等价的表述成。其次，线性方程组拉不到0， e 减 a 乘上 x 等于0，有非 0 减克c，这个增加关系成立不成立。这上边两句话是不是给下边这一句是等价的？那进一步它又非零减，是不是这个系数行的，使得怎么样等于0？既然可 c 是它的非零减，那当然满足这个关系式，进一步就等价成 M0 是特征多项，是 f 拉姆达的一个根，可 c 是其次，线性方程组它的一个非 0 减，是这样吗？那么由这一段分析，我们可以得出下边一个定理，就敬礼。

一、假设 a 是 n 键方阵，拉布达 0 是 a 的一个特征值，当且仅当拉布达 0 是特征多项时，它的一个根，这等于把前边的分析总结一下，科 c 是 a 的，属于拉姆达林的一个特征向量，当前仅当科 c 是其次下行方程轴它的一个非零减，是吧？这是我们刚才分析过的，通常我们把其次下行方程走拉摩达0， e 减10， a 乘上 x 等于0，把它的减空间称为 a 的，属于特征值拉姆达 0 的特征子空间，它的全部非零向量就是 a 的属于特征之拉姆达凌的全部特征向量。

我们不是要给出了特征值特征相当的概念之后，就要想办法来求它吗？好，我们就说它，实际上这些特征销量就是这个其次线性方程度的所有非 0 减。这个特征子空间也是个很重要的概念，不光线性代数大，作用在以后的包括泛寒分析等一些学科分子里边也有重要的应用，那么根据上边的分析，我们可以给出方阵 a 特征值和特征相量的一种计算方法。下边可以出这个步骤来。

嗯，第一，先计算 n 键方针 a 的一个特征多项式埃普拉姆达，是吧？第二，就求这个特征方程它的所有根，这样的话就得到 a 的什么呢？传播特征值好。第三步，对 a 的每一个特征值拉姆达i，求出它相应的。其次线性方程组的一个基础解析，比如说X1， X2 到X7，这个是大家前边学过的很熟悉的，这样一来就可以得到 a 的全部特征向量，这样一种形式。所以跟前边的其次线性方程组的结论联系起来，就可以来计算特征值和特征向量。好，下边我们用一个具体的例子来来看一看这个求解的过程。这个三阶矩阵怎么来求它的特征值和特征向量呢？我们按照刚才的步骤进一步先怎么办？特征多项式，那么 a 的特征多项式就是它，这个很好计算，那由这儿是不是马上就可以看出来特征值是哪几个？ a d 特征值，一个是拉姆达1，从这看等于-1，再一个有个2，从特征值拉姆达 2 等于拉姆达 3 = 2，对于特征值，拉姆达 1 等于负。

一键方程总先对它的吸收矩阵做一个变换，这种变化大家前面学的很多，应该很熟悉，那么呢，上边这个棋子下行方程组就可以经过这一番变换得到一个铜解方程，我们要求一个基础简析，是吧？那由这个铜解方程走，马上可以得到它的一个基础解析， X1 和 X3 是吧？应该是相等的，所以 K1 X1 就是 a 的收益。

拉姆达 1 等于- 1 的全部特征向量，刚才是对拉姆达1，现在对这个 2 同特征值拉姆达2，拉姆达 3 也有同样的方法。在这个 7 次线性方程走，先对它的系数矩阵进行变换，就会得出一个同解方程，再减那个同解方程，我们可以得出几种解析来好得出。这个基础解析是这样子，所以 a 的属于拉姆达 2 和拉姆达 3 的全部特征销量，就是这样一个形式，那么就说 K2 和 K3 不差为0，那么这个三点矩阵我们看一下，有几个线性无关的特征向量，这一个还有前边的 X 1101 和 X2 X3，它三个是线性无关的，这个很容易验证。我们再开一个矩阵，这个三点矩阵我们也要求它的特征值和特征向量。计步线球它的特征多项式，那么马上就可以看此特征值了，是吧？又有一个二重特征值，拉姆达2，拉姆达 3 等于-1。

同样的办法对每个特征值求解，相应的什么呢？其次，下行方程组对系数矩阵做一个简单的变换，得到这样一个统计方程组，其中间隙只有一个向量 number 2 等于LAMDA， 3 等于-1。我们用同样的方法，具体的过程我们不详细来讲了，会得出一个基础解析，还有几个向量一个大家注意一下，刚才在第二当中也是从根，是不是那个基础解析里边还有两个线性无关的向量，这里是一个，对吧？所以这个三点矩阵只有两个线性无关的特征向量。好，我们再看一个例子。第四是 n 间方阵a，满足这样一个等式，这是抽象矩阵，求 a 的特征值，这个怎么求？不是一个具体的矩阵，我们根据这个关系是来推导。假设拉姆达斯 a 的特征值 x 是 a 的特征向量，归用于拉姆达的，那就是说有 AX 等于栏目的x，那么这个等于 0 来乘上这个特征向量，当然也是0。打开这个括号分项来算，这里会出现 a 平方x， a 平方x，我们可以把它变成什么呢？ a 乘上AX，大家顺便注意一下，那么大。

对，如果是 a 的特征值，那么 a 平方的特征值跟 a 的特征值之间有什么关系？看出来了好，那么拉姆达斯 a 的特征值，那么 a 的平方就会有一个特征值，拉姆达平方，它这边等于0，但是 x 能不能等于0？ x 不等于0，那智能括号里边这个式子等于0，对吧？那它等于 0 推迟了什么呢？拉姆达等于1，这个特征值几重的？是只有一个还是多重的？经大的考虑，所以 AD 特征值只能是1。

顺便问一下，这是不是表明 a 已经是单位矩阵？能不能说明这个问题一定比较 a 的特征值只能是e，能说明 a 已经是单位矩阵吗？能不能说明不一定，很容易矩出栗子来，对吧？好，下边我们先看看特征值和特征相量的几个简单性质，一看一下一个矩阵和他的转值，他们的特征值之间有什么关系，很容易证明，只要看看他们两个的特征多项式有什么关系，一个矩阵和它的转直矩阵的行列式什么关系？相等不相等？好，那自然就会有相同的什么呢？特征值兴致2。

如果 a 是一个可逆矩阵，拉姆达斯 a 的特征值 x 是 a 的，属于拉姆达的特征向量，那么第一个 a 的逆的特征值和 a 的特征值之间有什么关系？因为 s 客机矩阵它的特征值能不能为0？请大家考虑。我们把这两个性质联合起来证明，因为 a 可逆， a x c，拉姆达 x 对吧？所以两边同时成沙，a，d，e，由这个关系试看，因为 x 不等于0，拉姆达为什么不等于0？请考虑。然后我拉姆拉可以出过来，变成这个样子，这说明什么问题？拉姆达分之一是 a 的，这个 e 的特征值对应的特征相当，是不是一样的？这都归第一个结论证了，是吧？我们还有镜制中的第二个，如果说给它的上边都成了一个 a 的行列式，大家回想一下伴随矩阵的经历，伴随矩阵的定义是什么呢？ a 乘上 a 星等于谁？对，是这样吗？

是不是这样子？那是不是跟这上边同城上，他是不是得 a 星了？算不上问题，如果拉姆达斯 a 的特征值 x 是相应的特征向量，那么拉姆达分支 a 的行列式就是 a 的伴随矩阵的特征值。彭志强，那是不一样的，是一样的。好，大家注意一下。觉得拉姆达是不等于 0 的，那如果说拉姆达等于 0 会是什么样子？我们把第二个性质这也进一步挖掘一下两个问题，一个，我们不假设 A4 颗粒矩阵，那么就有可能 0 次它的特征值，如果是这样的话，这个 0 是不是 a 的伴随矩阵的特征值？或者反过来，如果 0 是 a 的伴随矩阵的特征值，它是不是 a 的特征值？

给，这两个之间是什么关系？刚才等于是对非 0 特征值而言，那如果说 0 是 a 的特征值，它是不是这个伴随矩阵的特征值？或者反过来，我可以告诉读者们，这两个之间，拉姆达等于 0 是 a 的特征值，当且仅当它也是 a 星的特征值，这是一个问题。

你们还可以问这样一个问题，如果说拉姆达假设他不等于 0 是这个伴随矩阵的特征值，那么相应的那个a，它的特征值跟 a 星的这个特征值之间又有什么关系？我们这个是先说拉姆达和 a 的特征值，是吧？然后再看 a 星的特征值，现在翻过来假设拉姆达是 a 星的特征值，看看 a 的特征值跟他之间有什么关系，也请同学们下去思考。

我们再看一些简单的性质，如果拉姆达斯 a 的特征值我们刚才实质上已经说过了，那么拉姆达平方就是 a 平方的特征值，那么假设给拉姆达前边乘以一个-2，这个- 2 拉姆达是不是负 2A 的特征值？是不是这图定义非常容易验证？那如果 3 次方 4 次方，你的更一般的 k 次方很容易推出来，拉姆达 k 也是 AK 的特定制，这个对不对？莱姆特斯 a 的特征值，也就是说把这个更一般化，是不是一般的，我们就有下边这个定理，也就是定理 2 是拉姆达斯方阵 a 的一个特征值，对应的特征相量为 x f t 是关于 t 的一个多项式，那么 f 拉姆达斯 f a 的一个特征值，并且对应的特征向量也是x。

大家注意一下，这个 F7 是一个一半的多项式，我们看一下，那么 f 拉姆达就是 f a 的一个特征值，这实际上用到我们刚才上边对几个特殊情况的分析，对不对？拉姆达廷方开拉姆达，把他在综合运用一下，我们证明这个东西因为 AX 对拉姆达克斯，所以对任何的这个政整素开，都由 a k x 等于 a k 减 1 乘上 a x，对吧？一次下去我们就可以得到这个，他对拉姆达开 x 这个词非常容易看出来的。

设 FT 就是这样一个多项式，那么矩阵多项式多一波，这里汽油 a 来代替得到一个矩阵多项式，大家注意一下这个常速项在这变成什么了，你这是要切记的，然后给这边乘上x，给每一项都乘上 x 是变成这个样子了。那现在怎么办？把我们前边的观察具体运用一下，是这样，这就说明埃弗拉姆达是 FA 的特征值， x 就是对应的特征向量。好，我们再看一个定理，这个定理 3 说什么呢？说 n 键方阵，它的假设 n 个特征值是拉姆达1，拉姆达2，都拉姆达n，那么我们得到下边两个结论来，这些特征值之和等于谁？这个矩阵的 b 角线之和，然后特征之积就等于 a 的行列式。这个性质很有意思，我们现在来证明一下。

因为拉姆达1，拉姆达 2 多拉姆达 a 是 a 的特征值，那么 a 的这个特征多项式就可以分解成这样一个形式，对吧？所以这个样子，另一方面，这个特征做相式又可以这样来展开它的行列式展开当中子对焦善元素的乘积是其中的一项，就这个样子而展开。失踪的其余各项至多包含 n 减 2 个子对焦线上的元素，因此这些像关于拉姆达的次数至多是 n 减2。所以特征多项式中拉姆达的 n 次项和 n 减 1 次项只能在子对角线上各元素的成绩中出现，因此我们就有这样一个表达式，这个特征多项式可以写成这个样子，然后跟前边那个表达式加以对比。

前边有一个特征多项的表达式，现在有一个表达式，两者加以对比。什么呢？比较像 n 减 1 次项的系数，也就是他给上边那个拉姆达的 n 加 1 次方的这个系数，就会得到它等于谁。拉姆达1，加拉姆达2，加拉姆达 n 就是第一个结论。那么然后再在这两个式子当中取拉姆达为0，那么拉姆达为0，这个为0，剩下就是他，那么上边那个十字最后一项两个 1 比较，是不是得到第二个结论了？好，由上半的定理，我们马上可以推迟一个直接的结论来，就是推论 n 键方针。

a 科技的充分必要条件是 a 的每一个特征值都不为0。利用的哪一个结论？利用刚才定的哪一个结论？第二个是吧？对特征值的成绩等于这个矩阵的行列式，所以我们就有这个推论，它可逆的同样条件是 a 的每一个特征值都不为0。我们还有一个名词叫做g，我们把一个矩阵的对角线元数字和称作这个矩阵的 g 就是它，用这种式子来表达。我们再回过头来看看前边，例 2 和例 3 就是两个三减矩阵，计算它们的特征值和特征向量，尽管我们刚才已经说过了第二个例子，它有三个线性无关的特征向量，第二个有两个线性无关的特征向量，都是三角矩阵。一个有 3 个线性无关的特征向量，另一个有两个线性无关的特征向量，而且这两个例子当中都有二重特征值，那么他们两个例子有一个什么共同点吗？属于不同特征值的特征向量是下行无关的。

第一个例子当中有 3 个下行无关的特征向量，其中拉姆达2，拉姆达 3 是重根，二重根对不对？ V3 当中也有个二重根，它对应的只有一个下行无关的特征向量，就一个特征向量，总共是两个线性无关的特征向量，也就是说对应着不同特征值的特征向量是线性无关的。那么这个有更一般的结论就是经理 4 假设拉姆达1，拉姆达 2 到拉姆达 n 是方针 a 的 m 个互不相同的特征值，X1，X2，x， m 分别是与它对应的特征向量，那么这些特征向量已经线性无关。

刚才我们说第二和第三共同之间是什么呢？对于这不同特征的车主向量是线性无关的，那么这个就是更一般的结论，下边我们加以证明。用数学归纳法，当 m 等于 1 的时候，也就是只有一个特征向量的时候，因为特征向量本身不能为0，就是 X1 不等于0，它自然是下行无关的，所以结论就成立了。现在假设对 k 个互不相同的特征值，结论成立，我们现在在考虑 k 加一个互不相同的特征值。好舍友长苏没有1，没有2，一直到没有开加 1 死的这样一个关系。

是佟丽，我们叫 5. 5，总比 U1 这个后边还要用，N，N，因为 a x i 就等于拉姆达 i x i 从一直到开加一，我们现在用 a 做成一下这个势头，这是 5. 5 两边都做成一下 a 就会得到什么呢？看给它做成一下a，那传了 meal 1 a x 1 mua 2A X2 1 巨刀没有开加1， a x 开加1，大家注意到 x i 是 a 的对应与拉姆达 i 的特征向量，是吧？大家看起来 5- 60 的来源就是给 5- 50 的两边做成了一个 a 得到的，现在再给那个 5- 50，就是他腾上一拉姆达 k 加1，再给这个物检 60 相减，看，给这个式子乘上拉姆达开加1，再给这个 5 减 60 相减，是不是变成这个样子了？有位看拉不达爱在这两项里边都有，是吧？看 5 减 6 和 5 减 5 这个系数里边都有没有，是吧？都没有，然后把它没有一没有 2 都提出来，是不是得到这样一个关系式好？由这个关系式来看，拉姆达 k 加 1 和这些拉姆达1，拉姆达 2 以及到拉姆达 k 是什么关系？他们等于 0 吗？他们会等于 0 吗？因为我们假设了X1， X2X k 线性无关，这是归纳假设这个对不对？它的系数差为0，但是拉姆达 k 加 1 是不等于这些拉姆达 i 从 1 到 k 的，那只能谁等于 0 了？只能没有 i 等于0，我没有 i 等于0，得到 5- 50 当中，就是在这里边那剩下谁了？那些没有i， i 从一刀开全等于 0 了，那他不是也等于 0 了？这一项也等于 0 了，那自动推出来没有开加 1 = 0，这样我们就用归纳法来完整的给出了证明，我们还可以给出另外一组政法，这个政法我们课堂上就不讲了，课本里面有，就是利用到范德蒙行列式，利用范德蒙行列式可以给出另外一种政法。

这个大家下去以后可在课本上再看刚才的敬礼四、特征值和特征相当的一个重要特性，如果说 n 减方阵恰好有 n 个线性无关的特征向量的话，那么这个矩阵就会有很好的兴趣，比如说就可以进行我们一开始所说的那种分拣，这样会带来很大的方便。好，我们再进一步考虑一下，对于 a 的每一个特征值，拉姆达 i 从 1 到m，它对应的特征向量未必只有一个，对不对？每个特征值对应的特征向量不一定是一个，因为事实上俄过。其次线性方程走，并着这个拉姆达爱的这个起始先行方程走，他的一个基础解析是他的话，那我们有经理意识到他们都是 a 的，属于拉姆达 a 的线性无关的特征向量，对吧？对应着一个特征值可以有很多的特征向量，是不是？好，我们刚才的经理 4 说必由于不同特征值的特征向量已经线性无关。

对，现在如果每一个特征值对应的若干个特征向量它都线性无关，现在把所有这些特征值对应的各种特质向量全部合并在一起，他们会不会仍然是线性无关的？每个特征值对应的一些线性无关的特征向量？现在保这些特征值分别对应的这些特征向量合并在一起，看它是不是仍然显性无关。

这个答案是肯定的，也就是说我们有下边这个定位，说拉姆达1，拉姆达2，拉姆达 m 是 n j 方针 e d n 个互不相同的特征值，那么 x i 1 x i 2。你知道 x i 开 i 都是 a 的对应于拉姆达 i 的特征向量，那么这个向量组就是把所有这些特征向量放在一块，它仍然是线性无关的，这就是经理屋。这个定义显然是前面定律师的一个推广。为了书写的方便，我们只对两个不同特征值的情形加以简要说明，不详细再证了。一般情形完全可以同理来处理。比如说我们说有两个特征值，一个是拉姆达 1 和拉姆达2，一个是特征值拉姆达1，一个是拉姆达2，两个不相同，那么阿尔法 1 阿法 2 到阿尔法 s 是对应于拉姆达 1 的特征向量，而贝塔 1 贝塔 2 贝塔 7 是对于拉姆达 2 的特征向量。

我们现在给出这样一个关系式，给这个关系式的两边做成一个a，得到这个式子，那么 a 阿发 1 等于谁？就拉姆达 1 阿法1， a 阿法 2 就等于拉姆达 2 阿尔法2，如此类推。由于拉姆达 1 和拉姆达 2 不相同，也就是它不传为0，我们不妨设拉姆达 2 不等于 0 the top，然后在这个十字 5- 70 两边乘以 Lambda 2 可以得到。然后用 5- 80 度前边一个式子减去这个式子，二者相减。因为这次很简单的一些粗等运算，就会得到这样一个关系式。

大家看阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 s 是什么？下行无关的，那么它的系数还为0，但是拉姆达 1 不等于拉姆达2，那只能谁为零了，所以就可以得到这样的关系时，就是说我们两边可以把拉牡丹一减，拉牡丹约掉了，是吧？就得到下边这个十字。由于阿尔法1、阿尔法 2 法线性无关，因此从上边就可以得到这些系数。开一开二开始叉为0，再把它带到前面那个式子，增加跟贝塔合到一块那个式子里边。那前面那一部分变成啥了？变成 0 了，那就剩下后边一部分，对不对？原来是前边加了有这个与阿尔法相关的一个线性关系，是现在他为零了，那只能剩下这个同样的办法，因为贝塔1、贝塔 2 到贝塔 7 也是线性无关的。有这个关线性关系时也推出来拉姆达 1 等于，纳姆达 2 等于0。

这样一来，我们从一开始关于阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 s 一直到贝塔1、贝塔 2 到贝塔 2 它这个关系式当中，那系统传鬼灵说明他们合在一块来线性无关。好，我们从定义也可以看出这样一个结论来，同一个特征值的两个特征相等的和向量。当然贾静他不是零向量了，那么这个核销量还是不是特征向量？同一个特征值的两个特征向量之和，它不为0，它是不是还是特征向量？是。那如果说这两个特征向量分别属于两个不同的特征值，那么它们这个核销量假设不是0，会不会也是特征向量？我们来看这个例子，比如说拉姆达1，拉姆达 2 是 a 的两个不同的特征值，X1、 X2 分别是对用于它们的特征向量，我们可以证明 X1 加上 X2 一定不是 a 的特征向量。用反正法假设做 X1 加 X24A 的特征向量的话，那就存在一个数没有 4 的这个关系是成立，对不对？好，这是根据定义。

另外我们有假设X1、 X2 分别是拉姆达1、拉姆达 2 的不一定得成的向量，所以有这个关系是成立。这两个式子相减是不是会得到这个式子，对不对？得到这个失字，因为拉姆达 1 不对，拉姆达2，那么密友舰去拉姆达 1 和密友舰去拉姆达 2 至少有一个不为0，什么啥问题？由这个式子加上这两个当中至少有一个部为0，说明 X1 和 X2 线性相关与谁矛盾了？是不是与我们前半的经理矛盾了？特征值和特征相量是线性代数乃至整个现代诉求当中很重要的基本概念，我们现在总结一下，如果说拉姆达斯 a 的一个特征值是不是可以用多种的表达方式来刻画？看看，总结一下，拉姆纳斯 a 的特征值就等价于这个。

其次，下行方程左右非 0 减，是不是这样子？然后我们还定义这个什么概念？特征子空间，并有拉姆达的这个特征子空间，他又非零减，又等价于这个子空间，不等于它这个集合只有一个定向的进一步又等价于拉姆达 1 加 a 不可逆，它不可逆，那就说这个行列式为0，对吧？这节课一开始我们为了简化矩阵 a 的有关计算，通过可逆矩阵 p 做到一个分拣，也就是这样一个分拣，或者说将 p 这个矩阵对焦化，但是并不是所有的地震都可以对接化，那大家就要问什么样的矩阵可以对焦化，或者是在什么条件之下一个矩阵可以对焦化？如果说可以对焦化的话，那么怎么样来分解a，怎么来求相应的这个p？怎么样来构造这个d，关于这个条件，什么情况下可以对焦化？实际上我们上百的定理 4 和定理 5 已经为这个问题提供了理论依据。

我可以先告诉大家，如果一个矩阵，比如说 n 减方针，它有 n 个线性无关的特征，相当的话一定可以比较化。那么既然不是所有的矩阵都可以比较化，我们能不能退而求其次？当初对决化也是为了简化计算，那现在对一个一般的矩阵，我们有没有办法波特变得稍微简单一点，转化成一个结构更简单更容易处理的一个矩阵？等等这些问题也是我们后边要讲的内容。好，留下两个思考期，大家下去继续思考。一个是实矩阵的特征值是不是已经是实数？这就是我们刚课堂当中已经提到的与伴随矩阵相关的一个问题，如果 04A 的特征值， 04 伴随矩阵 a 星的特征值吗？反过来怎么样？好，这堂课我们也就讲到这。